0. | Literaturhinweise |
1. | Zahlbereiche und ihre Eigenschaften |
2. | Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme |
3. | Matrizen, Matrixalgebra |
4. | Folgen und Reihen |
5. | Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit |
6. | Differentialrechnung |
7. | Potenzreihen |
8. | Anwendung der Differentialrechnung |
9. | Integralrechnung |
10. | Tensoren, Quadratische Formen |
11. | Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel |
12. | Gewöhnliche Differentialgleichungen |
13. | Fourierreihen |
14. | Kurven und Flächen |
15. | Kurven- und Oberflächenintegrale |
16. | Integralsätze und Vektoranalysis |
A. | Anhang: Tabellen und Kurzreferenzen |
1. | Zahlbereiche und ihre Eigenschaften |
1.1 | Natürliche Zahlen |
1.2 | Ganze Zahlen |
1.3 | Rationale Zahlen |
1.4 | Reelle Zahlen |
1.4.1 | Axiome der Addition |
1.4.2 | Axiome der Multiplikation |
1.4.3 | Axiome der Ordnung |
1.4.4 | Archimedisches Axiom |
1.4.5 | Axiom der Vollständigkeit |
1.4.6 | Dreiecksungleichung |
1.5 | Komplexe Zahlen |
1.5.1 | Schreibweisen |
1.5.2 | Moivre'sche Formel |
1.6 | Das Prinzip der vollständigen Induktion |
1.6.1 | Induktionsanfang |
1.6.2 | Induktionsvoraussetzung |
1.6.3 | Induktionsschluß |
1.6.4 | Beispiel: Bernoullische Ungleichung |
1.7 | Fakultät, Binomialkoeffizient, Binomischer Lehrsatz |
1.7.1 | Fakultät |
1.7.2 | Binomialkoeffizient |
1.7.3 | Binomischer Lehrsatz |
1.7.4 | Pascal'sches Dreieck |
1.8 | Der Fundamentalsatz der Algebra |
2. | Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme |
2.1 | Vektorrechnung, analytische Geometrie |
2.1.1 | Vektorielle Addition |
2.1.2 | Skalarprodukt |
2.1.3 | Länge des Vektors a |
2.1.4 | Schwarzsche Ungleichung |
2.1.5 | Orthogonale Projektion von a auf b |
2.1.6 | Winkel zwischen zwei Vektoren a und b |
2.1.7 | Raumprodukt (Spatprodukt) |
2.1.8 | Vektorprodukt (Kreuzprodukt) |
2.1.9 | Vektorielle Darstellung einer Geraden in Punkt-Richtungsform. |
2.1.10 | Vektorielle Darstellung einer Geraden in Hesseform |
2.1.11 | Vektorielle Darstellung einer Geraden in Hesse-Normalenform |
2.1.12 | Plückerform einer Geraden im dreidimensionalen Raum |
2.1.13 | Darstellung einer Ebene in PunktRichtungsform |
2.1.14 | Darstellung einer Ebene in Hesseform |
2.1.15 | Darstellung einer Ebene in HesseNormalenform. |
2.1.16 | Umrechnungformeln der Ebenenformen |
2.1.17 | Graßmannscher Entwicklungssatz |
2.1.18 | Identität von Lagrange |
2.2 | Lineare Gleichungssysteme |
2.2.1 | Allgemeines Lösungsverfahren |
2.2.2 | Der Gauß'sche Algorithmus |
2.2.3 | Die Cramersche Regel |
3. | Matrizen, Matrixalgebra |
3.1 | Beispiele für (m,n)-Matrizen |
3.1.1 | (n,n)-Einheitsmatrix |
3.1.2 | (m,n)-Matrix |
3.2 | Rechnen mit Matrizen |
3.2.1 | Addition zweier Matrizen A und B, Multiplikation mit einer Konstanten k |
3.2.2 | Transponieren einer (n,n)-Matrix |
3.2.3 | Verkettung von Matrizen, Matrixmultiplikation |
3.2.4 | Matrixinversion quadratischer Matrizen |
3.2.5 | Rang einer Matrix |
3.2.6 | Lösung einfacher Matrixgleichungen |
3.2.7 | Rechenregeln für Determinanten |
3.3 | Eigenwerte und Eigenvektoren |
4. | Folgen und Reihen |
4.1 | Folgen |
4.1.1 | Teilfolge |
4.1.2 | Konvergenz |
4.1.3 | Divergenz |
4.1.4 | Beschränkte Folgen |
4.1.5 | Monotonie |
4.1.6 | Eulersche Zahl |
4.1.7 | Konvergenzkriterium von Cauchy |
4.1.8 | Rekursiv definierte Folgen |
4.1.9 | Regeln bei Grenzwertbestimmungen |
4.1.10 | Alternierende Folgen |
4.2 | Unendliche Reihen |
4.2.1 | Cauchy-Kriterium für Reihen |
4.2.2 | Majoranten- und Minorantenkriterium |
4.2.3 | Die geometrische Reihe |
4.2.4 | Quotientenkriterium |
4.2.5 | Wurzelkriterium |
4.2.6 | Konvergenzkriterium von Leibniz für alternierende Reihen |
4.2.7 | Cauchy-Produnkt, Satz von Mertens |
5. | Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit |
5.0.1 | n-dimensionale Funktionen |
5.0.2 | Darstellung einer n-dimensionalen Funktion |
5.1 | Grenzwerte |
5.1.1 | Übertragungsprinzip für Grenzwerte von Funktionen |
5.1.2 | Linksseitiger Grenzwert, rechtsseitiger Grenzwert |
5.1.3 | Uneigentlicher Grenzwert |
5.1.4 | Steigkeit von Funktionen |
5.2 | Eigenschaften stetiger Funktionen |
5.2.1 | Extremwertsatz von Weierstraß |
5.2.2 | Monotonie stetiger Funktionen |
6. | Differentialrechnung |
6.0.1 | Tangente |
6.0.2 | Limes des Differenzenquotienten, Ableitung der Funktion f an der Stelle x |
6.0.3 | Differenzierbarkeit |
6.1 | Ableitungsregeln |
6.1.1 | Faktorsatz |
6.1.2 | Summenregel |
6.1.3 | Produktregel |
6.1.4 | Quotientenregel |
6.1.5 | Kettenregel |
6.2 | Ableitungen von reellwertigen Funktionen mehrerer Veränderlicher und von vektorwertigen Funktionen |
6.2.1 | Vektorwertige Funktionen und deren Ableitung |
6.2.2 | Partielle Ableitung |
6.2.3 | Totale Ableitung |
6.2.4 | Gradient |
6.2.5 | Partielle Ableitung einer vektorwertigen Funktion |
6.2.6 | Ableitungsregeln für vektorwertige Funktionen |
7. | Potenzreihen |
7.1 | Exponentialfunktion und Logarithmus |
7.1.1 | (komplexe) Exponentialfunktion |
7.1.2 | reelle Exponentialfunktion |
7.1.3 | natürlicher Logarithmus |
7.1.4 | reelle Exponentialfunktion zur Basis a |
7.1.5 | Logarithmus zur Basis a |
7.1.6 | Ableitungen der Exponentialfunktionen |
7.1.7 | Ableitungen der Logarithmusfunktionen |
7.1.8 | Wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktion |
7.1.9 | Wichtige Eigenschaften der Logarithmusfunktion |
7.1.10 | Die Graphen von ex und ln(x) |
7.2 | Trigonometrische Funktionen |
7.2.1 | Sinusfunktion |
7.2.2 | Cosinusfunktion |
7.2.3 | Wichtige Eigenschaften der Sinus-und Cosinusfunktion |
7.2.4 | Die Graphen von sin(x), cos(x), Arcsin(x) und Arccos(x) |
7.2.5 | Reelle Tangensfunktion, reelle Cotangensfunktion |
7.2.6 | Die Graphen von tan(x), cot(x), arctan(x) und arccot(x) |
7.2.7 | Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen |
7.3 | Hyperbolische Funktionen |
7.3.1 | Sinus hyperbolicus |
7.3.2 | Cosinus hyperbolicus |
7.3.3 | Schreibweise in Exponentialform |
7.3.4 | Symmetrie-Eigenschaften |
7.3.5 | Additionstheoreme |
7.3.6 | Zusammenhang mit der sin- bzw. cos-Funktion |
7.3.7 | Moivresche Formel |
7.3.8 | Ableitungen |
7.3.9 | Grenzwerte |
7.3.10 | Umkehrfunktionen |
7.3.11 | Die Graphen von sinh(x), cosh(x), arsinh(x) und arcosh(x) |
7.3.12 | Reeller Tangens hyperbolicus und Cotangens hyperbolicus |
7.3.13 | Umkehrfunktionen |
7.3.14 | Die Graphen von tanh(x), coth(x), artanh(x) und arcoth(x) |
8. | Anwendung der Differentialrechnung |
8.1 | Der Mittelwertsatz und einfache Anwendungen |
8.1.1 | Satz von Rolle |
8.1.2 | Erster Mittelwertsatz der Differentialrechnung |
8.1.3 | Addition einer Konstanten |
8.1.4 | Regel von l'Hospital für den Fall |
8.1.5 | Regel von l'Hospital für den Fall |
8.1.6 | Grenzwerte anderer Formen |
8.2 | Taylorformel und Taylorreihe bei Funktionen einer Veränderlicher |
8.2.1 | Taylorformel |
8.2.2 | Taylorreihe, MacLaurin-Reihe |
8.3 | Kurvendiskussion |
. | Vorgehensweise |
8.3.1 | Asymptote |
8.3.2 | Konvexität, Konkavität |
8.4 | Satz von Taylor für Funktionen mehrerer Veränderlicher, Anwendungen auf Extremwertaufgaben |
8.4.1 | Taylorsche Reihe für Funktionen zweier Veränderliche |
8.4.2 | Taylorsche Reihe für Funktionen von m Veränderlichen |
8.4.3 | Relative und absolute Extrema |
8.4.4 | Hinreichende Bedingung für strenge relative Extrema |
8.4.5 | Satz über implizite Funktionen |
8.4.6 | Die Lagrangesche Multiplikatorregel |
8.5 | Fehler- und Ausgleichsrechnung |
8.5.1 | Das Fehlerfortpflanzungsgesetz |
8.5.2 | Arithmetischer Mittelwert, Streuung |
9. | Integralrechnung |
9.1 | Definition der Stammfunktion |
9.1.1 | Stammfunktion F(x) |
9.1.2 | Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung |
9.2 | Eigenschaften und Anwendungen von Integralen |
9.2.1 | Bogenlänge eine Raumkurve |
9.2.2 | Wichtige Eigenschaften von Riemann-Integralen. |
9.3 | Integrationsmethoden |
9.3.1 | Addition der Null |
9.3.2 | Die Ableitung der Funktion tritt im Integranden auf |
9.3.3 | Die Substitutionsmethode |
9.3.4 | Partielle Integration |
9.3.5 | Integration rationaler Funktionen (Partialbruchzerlegung) |
9.3.6 | Integration rationaler Funktionen von sin und cos |
9.3.7 | Integration rationaler Funktionen von sinh und cosh |
9.3.8 | Integration von Potenzreihen |
9.3.9 | Rotationskörper |
9.4 | Integrale bei Funktionen mehrerer Veränderlicher |
9.4.1 | Zweidimensionale Integrale |
9.4.2 | Dreidimensionale Integrale |
9.4.3 | Masse m und Schwerpunkt eines Körpers |
9.5 | Uneigentliche Integrale |
9.5.1 | Konvergentes uneigentliches Integral |
9.5.2 | Vergleichskriterium für uneigentliche Integrale |
9.5.3 | Integralkriterium |
9.6 | Parameterabhängige Integrale |
9.6.1 | Stetigkeit von Parameterintegralen |
9.6.2 | Leibnizregel |
9.7 | Integration durch Reihenentwicklung, spezielle nichtelementare Funktionen............... |
9.7.1 | Die Gammafunktion oder das Eulersche Integral zweiter Ordnung. |
9.7.2 | Eulersche Konstante C |
9.7.3 | Integralsinus |
9.7.4 | Integralcosinus |
9.7.5 | Integralexponentialfunktion |
9.7.6 | Integrallogarithmus |
9.7.7 | Gauß'sches Fehlerintegral |
9.8 | Literaturhinweise zu Integralen |
9.8.1 | Bronstein / Semendjajew / Musiol / Mühlig: Taschenbuch der Mathematik |
9.8.2 | Unbestimmte Integrale |
10. | Tensoren, Quadratische Formen |
10.0 | Allgemeine Grundlagen |
10.0.1 | Linearitätseigenschaft einer Abbildung |
10.0.2 | Eigenwerte und Eigenvektoren |
10.1 | Tensoren, Koordinatendarstellungen |
10.1.1 | Geometrischer Tensor |
10.1.2 | Tensor |
10.1.3 | Vektorprodukt |
10.1.4 | Projektionstensor |
10.1.5 | Dyadisches Produkt zweier Vektoren |
10.1.6 | Spiegelungstensor |
10.1.7 | Drehtensor |
10.1.8 | Eulersche Drehmatrizen |
10.1.9 | Verkettung der Eulerschen Drehmatrizen |
10.1.10 | Beispiele für Tensoren in Physik und Technik |
10.1.11 | Koordinatendarstellung der Translation von Vektoren |
10.1.12 | Orthogonale Transformation |
10.2 | Das Normalformproblem von Bilinearformen |
10.2.1 | Hyperfläche 2. Grades oder Quadrik |
10.2.2 | Mittelpunkt einer Quadrik |
10.2.3 | Normalform einer Quadrik |
10.2.4 | Allgemeine Vorgehensweise bei der Klassifikation von Quadriken |
11. | Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel |
11.1 | Krummlinige Koordinaten, Jacobideterminante |
11.1.1 | Krummlinige Koordinaten |
11.1.2 | Jacobideterminante |
11.2 | Transformationsformeln |
11.2.1 | Polarkoordinaten |
11.2.2 | Zylinderkoordinaten |
11.2.3 | Kugelkoordinaten |
11.2.4 | Laplace-Operator D |
11.2.5 | Transformationsformel |
12. | Gewöhnliche Differentialgleichungen |
12.1 | Bezeichnungen, Richtungsfeld |
12.1.1 | Gewöhnliche Differentialgleichung |
12.1.2 | Richtungsfeld, Isokline |
12.1.3 | Lösungen |
12.1.4 | Anfangswertproblem |
12.1.5 | Satz von Picard-Lindelöf |
12.2 | Differentialgleichungen erster Ordnung |
12.2.1 | Form, Anfangsbedingung |
12.2.2 | Homogene Differentialgleichung |
12.2.3 | Inhomogene Differentialgleichung |
12.2.4 | Allgemeine Lösung |
12.2.5 | Trennung der Variablen |
12.3 | Bernoulli'sche Differentialgleichungen |
12.3.1 | Form |
12.3.2 | Lösungsansatz |
12.4 | Differentialgleichungen n-ter Ordnung und Systeme erster Ordnung |
12.4.1 | Form von Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung |
12.4.2 | Form von Differentialgleichungen n-ter Ordnung |
12.4.3 | Lösungsansatz |
12.4.4 | Allgemeine Lösung |
12.4.5 | Literaturhinweis |
12.5 | Lineare Differentialgleichungs-Systeme erster Ordnung |
12.5.1 | Lineares Differentialgleichungs-System erster Ordnung |
12.5.2 | Lineare Abhänigkeit, lineare Unabhängigkeit von Lösungen |
12.5.3 | Anzahl linear unabhängiger Lösungen |
12.5.4 | Fundamentalsystem (FS), Fundamentalmatrix, Übertragungsmatrix |
12.5.5 | Wronski-Determinante eines homogenen linearen DGL-Systems |
12.5.6 | Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichungs-Systeme erster Ordnung |
12.5.7 | Allgemeine Lösung eines gegebenen Anfangswertproblems |
12.6 | Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung |
12.6.1 | Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung |
12.6.2 | Umformung in DGL-System erster Ordnung |
12.6.3 | Fundamentalsystem |
12.6.4 | Aufstellen eines Fundamentalsystems |
12.6.5 | Fundamentalmatrix, Übertragungsmatrix |
12.6.6 | Wronski-Determinante |
12.6.7 | Allgemeines Lösungsverfahren |
12.6.8 | Tabelle zur Lösungsbasis von linearen homogenen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten |
12.7 | Eulersche Differentialgleichungen |
12.7.1 | Form Eulerscher Differentialgleichungen |
12.7.2 | Allgemeines Lösungsverfahren |
12.7.3 | Spezielle Eulersche Differentialgleichungen zweiter Ordnung |
12.8 | Rand- und Eigenwertprobleme |
12.8.1 | Begriff des Randwertproblems (RWP) |
12.8.2 | Begriff des Eigenwertproblems bei Differentialgleichungen |
12.9 | Autonome Differentialgleichungen 2.Ordnung |
12.9.1 | Form, Anfangswerte |
12.9.2 | Äquivalentes DGL-System erster Ordnung |
12.9.3 | Singuläre Punkte |
12.9.4 | Phasenkurve (PK) |
12.9.5 | Bestimmung der Phasenkurve, Lösen von Anfangswertproblemen |
12.9.6 | Spezielle autonome Differentialgleichungen 2. Ordnung |
12.9.7 | Lösungsverfahren der speziellen Differentialgleichung |
12.9.8 | Autonome Differentialgleichungs-Systeme |
12.9.9 | Klassifizierung von singulären Punkten, Phasenportraits |
13. | Fourierreihen |
13.1 | Trigonometrische Polynome und minimale Integralmittel |
13.1.1 | Periodizität |
13.1.2 | Trigonometrisches Polynom n-ten Grades |
13.1.3 | Primäre Problemstellung |
13.1.4 | Integralmittel |
13.1.5 | Fourierkoeffizienten (FK) |
13.1.6 | Unterscheidung bei geraden und ungeraden Funktionen |
13.1.7 | Konvergenz |
13.1.8 | Fourierreihe |
13.1.9 | Dirichlet-Term |
13.1.10 | Fourierreihenentwicklungen einiger 2p - periodischer Funktionen |
13.2 | Eine Anwendung auf die Saitenschwingung |
13.2.1 | Zugehöriges Randwertproblem |
13.2.2 | Separierte Differentialgleichungen |
13.2.3 | Ermittlung der Eigenfunktionen |
13.2.4 | Lösung der Differentialgleichung |
13.2.5 | Fourierreihen von f bzw. g |
14. | Kurven und Flächen |
14.1 | Kurven im und |
14.1.1 | Parameterdarstellung eines Kurvenbogens, Parametertransformation |
14.1.2 | Spezielle zulässige Parametertransformation auf "Bogenlänge" |
14.1.3 | Tangentenvektor, Normalenvektor und Krümmung einer Kurve im |
14.1.4 | Begleitendes Dreibein einer Kurve im |
14.1.5 | Frenetsche Formeln |
14.1.6 | Bezüglich der Zeit parametrisierte Kurven im |
14.2 | Einführung in die lokale Theorie der Flächen im |
14.2.1 | Parameterdarstellung eines Flächenstückes, Parametertransformation |
14.2.2 | Kurven auf Flächen |
14.2.3 | Koeffizienten der 1. Fundamentalform |
14.2.4 | Eigenschaften, Anwendungen |
14.2.5 | Flächen in expliziter Form |
15. | Kurven- und Oberflächenintegrale |
15.1 | Orientierte und nicht orientierte Kurvenintegrale |
15.1.1 | Orientiertes Kurvenintegral |
15.1.2 | Nicht orientiertes Kurvenintegral |
15.1.3 | Eigenschaften von Kurvenintegralen, Rechenregeln |
15.1.4 | Potential eines Vektorfeldes |
15.1.5 | Sternförmiges Gebiet |
15.2 | Orientierte und nicht orientierte Oberflächenintegrale |
15.2.1 | Orientiertes Oberflächenintegral |
15.2.2 | Nicht orientiertes Oberflächenintegral |
15.2.3 | Rechenregeln |
15.2.4 | Explizit gegebene Funktionen |
16. | Integralsätze und Vektoranalysis |
16.1 | Satz von Gauß in Ebene und Raum |
16.1.1 | Divergenz eines Vektorfeldes |
16.1.2 | Satz von Gauß in der Ebene |
16.1.3 | Satz von Gauß im Raum |
16.1.4 | Fluß von durch |
16.1.5 | Zirkulation von Vektorfeldern |
16.2 | Satz von Stokes |
16.2.1 | Rotation eines Vektorfeldes |
16.2.2 | Satz von Stokes |
16.2.3 | Vektorpotential |
16.3 | -(Nabla)-Rechnung |
16.3.1 | -Operator |
16.3.2 | Rechenregeln |
16.4 | Der Green'sche Integralsatz. |
16.4.1 | Green'scher Integralsatz |
16.4.2 | Anwendung |
16.5 | Exakte Differentialgleichungen |
16.5.1 | Exakte Differentialgleichungen |
16.5.2 | Exakte Differentialgleichungen in sternförmigen Gebieten |
16.5.3 | Spezielle Vektorpotentiale |
16.5.4 | Singuläre Punkte von exakten Differentialgleichungen |
16.5.5 | Integrierender Faktor m(x,y) |
16.5.6 | Bestimmung von integrierenden Faktoren für bestimmte Differentialgleichungen |
16.5.7 | Implizite Lösungen von nicht exakten Differentialgleichungen |
A. | Anhang: Tabellen und Kurzreferenzen |
A.1 | Trigonometrische Funktionswerte an besonderen Winkeln |
A.2 | Zusammenhänge der trigonometrischen Funktionen |
A.3 | Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen |
A.3.1 | Summe und Differenz |
A.3.2 | Vielfache |
A.3.3 | Potenzen |
A.3.4 | Einheitskreis |