0. Literaturhinweise
1. Zahlbereiche und ihre Eigenschaften
2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme
3. Matrizen, Matrixalgebra
4. Folgen und Reihen
5. Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit
6. Differentialrechnung
7. Potenzreihen
8. Anwendung der Differentialrechnung
9. Integralrechnung
10. Tensoren, Quadratische Formen
11. Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel
12. Gewöhnliche Differentialgleichungen
13. Fourierreihen
14. Kurven und Flächen
15. Kurven- und Oberflächenintegrale
16. Integralsätze und Vektoranalysis
A. Anhang: Tabellen und Kurzreferenzen
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1. Zahlbereiche und ihre Eigenschaften
1.1 Natürliche Zahlen
1.2 Ganze Zahlen
1.3 Rationale Zahlen
1.4 Reelle Zahlen
1.4.1 Axiome der Addition
1.4.2 Axiome der Multiplikation
1.4.3 Axiome der Ordnung
1.4.4 Archimedisches Axiom
1.4.5 Axiom der Vollständigkeit
1.4.6 Dreiecksungleichung
1.5 Komplexe Zahlen
1.5.1 Schreibweisen
1.5.2 Moivre'sche Formel
1.6 Das Prinzip der vollständigen Induktion
1.6.1 Induktionsanfang
1.6.2 Induktionsvoraussetzung
1.6.3 Induktionsschluß
1.6.4 Beispiel: Bernoullische Ungleichung
1.7 Fakultät, Binomialkoeffizient, Binomischer Lehrsatz
1.7.1 Fakultät
1.7.2 Binomialkoeffizient
1.7.3 Binomischer Lehrsatz
1.7.4 Pascal'sches Dreieck
1.8 Der Fundamentalsatz der Algebra
2. Vektorrechnung, analytische Geometrie, lineare Gleichungssysteme
2.1 Vektorrechnung, analytische Geometrie
2.1.1 Vektorielle Addition
2.1.2 Skalarprodukt
2.1.3 Länge des Vektors a
2.1.4 Schwarzsche Ungleichung
2.1.5 Orthogonale Projektion von a auf b
2.1.6 Winkel zwischen zwei Vektoren a und b
2.1.7 Raumprodukt (Spatprodukt)
2.1.8 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
2.1.9 Vektorielle Darstellung einer Geraden in Punkt-Richtungsform.
2.1.10 Vektorielle Darstellung einer Geraden in Hesseform
2.1.11 Vektorielle Darstellung einer Geraden in Hesse-Normalenform
2.1.12 Plückerform einer Geraden im dreidimensionalen Raum
2.1.13 Darstellung einer Ebene in Punkt­Richtungsform
2.1.14 Darstellung einer Ebene in Hesseform
2.1.15 Darstellung einer Ebene in Hesse­Normalenform.
2.1.16 Umrechnungformeln der Ebenenformen
2.1.17 Graßmannscher Entwicklungssatz
2.1.18 Identität von Lagrange
2.2 Lineare Gleichungssysteme
2.2.1 Allgemeines Lösungsverfahren
2.2.2 Der Gauß'sche Algorithmus
2.2.3 Die Cramersche Regel
3. Matrizen, Matrixalgebra
3.1 Beispiele für (m,n)-Matrizen
3.1.1 (n,n)-Einheitsmatrix
3.1.2 (m,n)-Matrix
3.2 Rechnen mit Matrizen
3.2.1 Addition zweier Matrizen A und B, Multiplikation mit einer Konstanten k
3.2.2 Transponieren einer (n,n)-Matrix
3.2.3 Verkettung von Matrizen, Matrixmultiplikation
3.2.4 Matrixinversion quadratischer Matrizen
3.2.5 Rang einer Matrix
3.2.6 Lösung einfacher Matrixgleichungen
3.2.7 Rechenregeln für Determinanten
3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren
4. Folgen und Reihen
4.1 Folgen
4.1.1 Teilfolge
4.1.2 Konvergenz
4.1.3 Divergenz
4.1.4 Beschränkte Folgen
4.1.5 Monotonie
4.1.6 Eulersche Zahl
4.1.7 Konvergenzkriterium von Cauchy
4.1.8 Rekursiv definierte Folgen
4.1.9 Regeln bei Grenzwertbestimmungen
4.1.10 Alternierende Folgen
4.2 Unendliche Reihen
4.2.1 Cauchy-Kriterium für Reihen
4.2.2 Majoranten- und Minorantenkriterium
4.2.3 Die geometrische Reihe
4.2.4 Quotientenkriterium
4.2.5 Wurzelkriterium
4.2.6 Konvergenzkriterium von Leibniz für alternierende Reihen
4.2.7 Cauchy-Produnkt, Satz von Mertens
5. Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit
5.0.1 n-dimensionale Funktionen
5.0.2 Darstellung einer n-dimensionalen Funktion
5.1 Grenzwerte
5.1.1 Übertragungsprinzip für Grenzwerte von Funktionen
5.1.2 Linksseitiger Grenzwert, rechtsseitiger Grenzwert
5.1.3 Uneigentlicher Grenzwert
5.1.4 Steigkeit von Funktionen
5.2 Eigenschaften stetiger Funktionen
5.2.1 Extremwertsatz von Weierstraß
5.2.2 Monotonie stetiger Funktionen
6. Differentialrechnung
6.0.1 Tangente
6.0.2 Limes des Differenzenquotienten, Ableitung der Funktion f an der Stelle x
6.0.3 Differenzierbarkeit
6.1 Ableitungsregeln
6.1.1 Faktorsatz
6.1.2 Summenregel
6.1.3 Produktregel
6.1.4 Quotientenregel
6.1.5 Kettenregel
6.2 Ableitungen von reellwertigen Funktionen mehrerer Veränderlicher und von vektorwertigen Funktionen
6.2.1 Vektorwertige Funktionen und deren Ableitung
6.2.2 Partielle Ableitung
6.2.3 Totale Ableitung
6.2.4 Gradient
6.2.5 Partielle Ableitung einer vektorwertigen Funktion
6.2.6 Ableitungsregeln für vektorwertige Funktionen
7. Potenzreihen
7.1 Exponentialfunktion und Logarithmus
7.1.1 (komplexe) Exponentialfunktion
7.1.2 reelle Exponentialfunktion
7.1.3 natürlicher Logarithmus
7.1.4 reelle Exponentialfunktion zur Basis a
7.1.5 Logarithmus zur Basis a
7.1.6 Ableitungen der Exponentialfunktionen
7.1.7 Ableitungen der Logarithmusfunktionen
7.1.8 Wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktion
7.1.9 Wichtige Eigenschaften der Logarithmusfunktion
7.1.10 Die Graphen von ex und ln(x)
7.2 Trigonometrische Funktionen
7.2.1 Sinusfunktion
7.2.2 Cosinusfunktion
7.2.3 Wichtige Eigenschaften der Sinus-und Cosinusfunktion
7.2.4 Die Graphen von sin(x), cos(x), Arcsin(x) und Arccos(x)
7.2.5 Reelle Tangensfunktion, reelle Cotangensfunktion
7.2.6 Die Graphen von tan(x), cot(x), arctan(x) und arccot(x)
7.2.7 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
7.3 Hyperbolische Funktionen
7.3.1 Sinus hyperbolicus
7.3.2 Cosinus hyperbolicus
7.3.3 Schreibweise in Exponentialform
7.3.4 Symmetrie-Eigenschaften
7.3.5 Additionstheoreme
7.3.6 Zusammenhang mit der sin- bzw. cos-Funktion
7.3.7 Moivresche Formel
7.3.8 Ableitungen
7.3.9 Grenzwerte
7.3.10 Umkehrfunktionen
7.3.11 Die Graphen von sinh(x), cosh(x), arsinh(x) und arcosh(x)
7.3.12 Reeller Tangens hyperbolicus und Cotangens hyperbolicus
7.3.13 Umkehrfunktionen
7.3.14 Die Graphen von tanh(x), coth(x), artanh(x) und arcoth(x)
8. Anwendung der Differentialrechnung
8.1 Der Mittelwertsatz und einfache Anwendungen
8.1.1 Satz von Rolle
8.1.2 Erster Mittelwertsatz der Differentialrechnung
8.1.3 Addition einer Konstanten
8.1.4 Regel von l'Hospital für den Fall
8.1.5 Regel von l'Hospital für den Fall
8.1.6 Grenzwerte anderer Formen
8.2 Taylorformel und Taylorreihe bei Funktionen einer Veränderlicher
8.2.1 Taylorformel
8.2.2 Taylorreihe, MacLaurin-Reihe
8.3 Kurvendiskussion
. Vorgehensweise
8.3.1 Asymptote
8.3.2 Konvexität, Konkavität
8.4 Satz von Taylor für Funktionen mehrerer Veränderlicher, Anwendungen auf Extremwertaufgaben
8.4.1 Taylorsche Reihe für Funktionen zweier Veränderliche
8.4.2 Taylorsche Reihe für Funktionen von m Veränderlichen
8.4.3 Relative und absolute Extrema
8.4.4 Hinreichende Bedingung für strenge relative Extrema
8.4.5 Satz über implizite Funktionen
8.4.6 Die Lagrangesche Multiplikatorregel
8.5 Fehler- und Ausgleichsrechnung
8.5.1 Das Fehlerfortpflanzungsgesetz
8.5.2 Arithmetischer Mittelwert, Streuung
9. Integralrechnung
9.1 Definition der Stammfunktion
9.1.1 Stammfunktion F(x)
9.1.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
9.2 Eigenschaften und Anwendungen von Integralen
9.2.1 Bogenlänge eine Raumkurve
9.2.2 Wichtige Eigenschaften von Riemann-Integralen.
9.3 Integrationsmethoden
9.3.1 Addition der Null
9.3.2 Die Ableitung der Funktion tritt im Integranden auf
9.3.3 Die Substitutionsmethode
9.3.4 Partielle Integration
9.3.5 Integration rationaler Funktionen (Partialbruchzerlegung)
9.3.6 Integration rationaler Funktionen von sin und cos
9.3.7 Integration rationaler Funktionen von sinh und cosh
9.3.8 Integration von Potenzreihen
9.3.9 Rotationskörper
9.4 Integrale bei Funktionen mehrerer Veränderlicher
9.4.1 Zweidimensionale Integrale
9.4.2 Dreidimensionale Integrale
9.4.3 Masse m und Schwerpunkt eines Körpers
9.5 Uneigentliche Integrale
9.5.1 Konvergentes uneigentliches Integral
9.5.2 Vergleichskriterium für uneigentliche Integrale
9.5.3 Integralkriterium
9.6 Parameterabhängige Integrale
9.6.1 Stetigkeit von Parameterintegralen
9.6.2 Leibnizregel
9.7 Integration durch Reihenentwicklung, spezielle nichtelementare Funktionen...............
9.7.1 Die Gammafunktion oder das Eulersche Integral zweiter Ordnung.
9.7.2 Eulersche Konstante C
9.7.3 Integralsinus
9.7.4 Integralcosinus
9.7.5 Integralexponentialfunktion
9.7.6 Integrallogarithmus
9.7.7 Gauß'sches Fehlerintegral
9.8 Literaturhinweise zu Integralen
9.8.1 Bronstein / Semendjajew / Musiol / Mühlig: Taschenbuch der Mathematik
9.8.2 Unbestimmte Integrale
10. Tensoren, Quadratische Formen
10.0 Allgemeine Grundlagen
10.0.1 Linearitätseigenschaft einer Abbildung
10.0.2 Eigenwerte und Eigenvektoren
10.1 Tensoren, Koordinatendarstellungen
10.1.1 Geometrischer Tensor
10.1.2 Tensor
10.1.3 Vektorprodukt
10.1.4 Projektionstensor
10.1.5 Dyadisches Produkt zweier Vektoren
10.1.6 Spiegelungstensor
10.1.7 Drehtensor
10.1.8 Eulersche Drehmatrizen
10.1.9 Verkettung der Eulerschen Drehmatrizen
10.1.10 Beispiele für Tensoren in Physik und Technik
10.1.11 Koordinatendarstellung der Translation von Vektoren
10.1.12 Orthogonale Transformation
10.2 Das Normalformproblem von Bilinearformen
10.2.1 Hyperfläche 2. Grades oder Quadrik
10.2.2 Mittelpunkt einer Quadrik
10.2.3 Normalform einer Quadrik
10.2.4 Allgemeine Vorgehensweise bei der Klassifikation von Quadriken
11. Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel
11.1 Krummlinige Koordinaten, Jacobideterminante
11.1.1 Krummlinige Koordinaten
11.1.2 Jacobideterminante
11.2 Transformationsformeln
11.2.1 Polarkoordinaten
11.2.2 Zylinderkoordinaten
11.2.3 Kugelkoordinaten
11.2.4 Laplace-Operator D
11.2.5 Transformationsformel
12. Gewöhnliche Differentialgleichungen
12.1 Bezeichnungen, Richtungsfeld
12.1.1 Gewöhnliche Differentialgleichung
12.1.2 Richtungsfeld, Isokline
12.1.3 Lösungen
12.1.4 Anfangswertproblem
12.1.5 Satz von Picard-Lindelöf
12.2 Differentialgleichungen erster Ordnung
12.2.1 Form, Anfangsbedingung
12.2.2 Homogene Differentialgleichung
12.2.3 Inhomogene Differentialgleichung
12.2.4 Allgemeine Lösung
12.2.5 Trennung der Variablen
12.3 Bernoulli'sche Differentialgleichungen
12.3.1 Form
12.3.2 Lösungsansatz
12.4 Differentialgleichungen n-ter Ordnung und Systeme erster Ordnung
12.4.1 Form von Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung
12.4.2 Form von Differentialgleichungen n-ter Ordnung
12.4.3 Lösungsansatz
12.4.4 Allgemeine Lösung
12.4.5 Literaturhinweis
12.5 Lineare Differentialgleichungs-Systeme erster Ordnung
12.5.1 Lineares Differentialgleichungs-System erster Ordnung
12.5.2 Lineare Abhänigkeit, lineare Unabhängigkeit von Lösungen
12.5.3 Anzahl linear unabhängiger Lösungen
12.5.4 Fundamentalsystem (FS), Fundamentalmatrix, Übertragungsmatrix
12.5.5 Wronski-Determinante eines homogenen linearen DGL-Systems
12.5.6 Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichungs-Systeme erster Ordnung
12.5.7 Allgemeine Lösung eines gegebenen Anfangswertproblems
12.6 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
12.6.1 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
12.6.2 Umformung in DGL-System erster Ordnung
12.6.3 Fundamentalsystem
12.6.4 Aufstellen eines Fundamentalsystems
12.6.5 Fundamentalmatrix, Übertragungsmatrix
12.6.6 Wronski-Determinante
12.6.7 Allgemeines Lösungsverfahren
12.6.8 Tabelle zur Lösungsbasis von linearen homogenen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
12.7 Eulersche Differentialgleichungen
12.7.1 Form Eulerscher Differentialgleichungen
12.7.2 Allgemeines Lösungsverfahren
12.7.3 Spezielle Eulersche Differentialgleichungen zweiter Ordnung
12.8 Rand- und Eigenwertprobleme
12.8.1 Begriff des Randwertproblems (RWP)
12.8.2 Begriff des Eigenwertproblems bei Differentialgleichungen
12.9 Autonome Differentialgleichungen 2.Ordnung
12.9.1 Form, Anfangswerte
12.9.2 Äquivalentes DGL-System erster Ordnung
12.9.3 Singuläre Punkte
12.9.4 Phasenkurve (PK)
12.9.5 Bestimmung der Phasenkurve, Lösen von Anfangswertproblemen
12.9.6 Spezielle autonome Differentialgleichungen 2. Ordnung
12.9.7 Lösungsverfahren der speziellen Differentialgleichung
12.9.8 Autonome Differentialgleichungs-Systeme
12.9.9 Klassifizierung von singulären Punkten, Phasenportraits
13. Fourierreihen
13.1 Trigonometrische Polynome und minimale Integralmittel
13.1.1 Periodizität
13.1.2 Trigonometrisches Polynom n-ten Grades
13.1.3 Primäre Problemstellung
13.1.4 Integralmittel
13.1.5 Fourierkoeffizienten (FK)
13.1.6 Unterscheidung bei geraden und ungeraden Funktionen
13.1.7 Konvergenz
13.1.8 Fourierreihe
13.1.9 Dirichlet-Term
13.1.10 Fourierreihenentwicklungen einiger 2p - periodischer Funktionen
13.2 Eine Anwendung auf die Saitenschwingung
13.2.1 Zugehöriges Randwertproblem
13.2.2 Separierte Differentialgleichungen
13.2.3 Ermittlung der Eigenfunktionen
13.2.4 Lösung der Differentialgleichung
13.2.5 Fourierreihen von f bzw. g
14. Kurven und Flächen
14.1 Kurven im und
14.1.1 Parameterdarstellung eines Kurvenbogens, Parametertransformation
14.1.2 Spezielle zulässige Parametertransformation auf "Bogenlänge"
14.1.3 Tangentenvektor, Normalenvektor und Krümmung einer Kurve im
14.1.4 Begleitendes Dreibein einer Kurve im
14.1.5 Frenetsche Formeln
14.1.6 Bezüglich der Zeit parametrisierte Kurven im
14.2 Einführung in die lokale Theorie der Flächen im
14.2.1 Parameterdarstellung eines Flächenstückes, Parametertransformation
14.2.2 Kurven auf Flächen
14.2.3 Koeffizienten der 1. Fundamentalform
14.2.4 Eigenschaften, Anwendungen
14.2.5 Flächen in expliziter Form
15. Kurven- und Oberflächenintegrale
15.1 Orientierte und nicht orientierte Kurvenintegrale
15.1.1 Orientiertes Kurvenintegral
15.1.2 Nicht orientiertes Kurvenintegral
15.1.3 Eigenschaften von Kurvenintegralen, Rechenregeln
15.1.4 Potential eines Vektorfeldes
15.1.5 Sternförmiges Gebiet
15.2 Orientierte und nicht orientierte Oberflächenintegrale
15.2.1 Orientiertes Oberflächenintegral
15.2.2 Nicht orientiertes Oberflächenintegral
15.2.3 Rechenregeln
15.2.4 Explizit gegebene Funktionen
16. Integralsätze und Vektoranalysis
16.1 Satz von Gauß in Ebene und Raum
16.1.1 Divergenz eines Vektorfeldes
16.1.2 Satz von Gauß in der Ebene
16.1.3 Satz von Gauß im Raum
16.1.4 Fluß von durch
16.1.5 Zirkulation von Vektorfeldern
16.2 Satz von Stokes
16.2.1 Rotation eines Vektorfeldes
16.2.2 Satz von Stokes
16.2.3 Vektorpotential
16.3 -(Nabla)-Rechnung
16.3.1 -Operator
16.3.2 Rechenregeln
16.4 Der Green'sche Integralsatz.
16.4.1 Green'scher Integralsatz
16.4.2 Anwendung
16.5 Exakte Differentialgleichungen
16.5.1 Exakte Differentialgleichungen
16.5.2 Exakte Differentialgleichungen in sternförmigen Gebieten
16.5.3 Spezielle Vektorpotentiale
16.5.4 Singuläre Punkte von exakten Differentialgleichungen
16.5.5 Integrierender Faktor m(x,y)
16.5.6 Bestimmung von integrierenden Faktoren für bestimmte Differentialgleichungen
16.5.7 Implizite Lösungen von nicht exakten Differentialgleichungen
A. Anhang: Tabellen und Kurzreferenzen
A.1 Trigonometrische Funktionswerte an besonderen Winkeln
A.2 Zusammenhänge der trigonometrischen Funktionen
A.3 Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen
A.3.1 Summe und Differenz
A.3.2 Vielfache
A.3.3 Potenzen
A.3.4 Einheitskreis