13. Fourierreihen
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13.1 Trigonometrische Polynome und minimale Integralmittel

13.1.1 Periodizität:

Eine skalare Funktion f(x) heißt periodisch mit der Periode T > 0 oder auch T-periodisch, falls f(x) = f(x + T) für alle reellen x gilt.

Ist eine solche Funktion f T-periodisch, so ist

2p-periodisch. Die folgenden Betrachtungen beziehen sich ausschließlich auf 2p-periodische Funktionen.

13.1.2 Trigonometrisches Polynom n-ten Grades:

So bezeichnet man folgendes Polynom:


13.1.3 Primäre Problemstellung:

Gegeben sei eine 2p-periodische Funktion f.

13.1.3.1 Kann f durch ein bestimmtes trigonometrisches Polynom besonders gut angenähert werden ?

13.1.3.2 Was heißt "gute Annäherung" überhaupt, wo f doch nicht einmal stetig sein muß, aber jedes Tn stetig ist ?

13.1.3.3 Welche zusätzlichen Forderungen sind an f bzw. an die Koeffizienten ak, bk zu stellen so daß die formale Reihe

konvergiert ?

13.1.3.4 Wenn Sf (x) für ein reelles x existiert, gilt dann f(x) = Sf(x) ?

13.1.4 Integralmittel:

Als Maß der Annäherung wählt man das sogenannte Integralmittel:


13.1.5 Fourierkoeffizienten (FK):

Minimiert man das Integralmittel, so ergibt sich Folgendes:

Existieren diese Integrale, so heißen die Terme Fourierkoeffizienten (FK) von f.

13.1.6 Unterscheidung bei geraden und ungeraden Funktionen:

Sei eine 2p-periodische Funktion f(x) gegeben, deren Fourierkoeffizienten für alle k existieren. Dann gilt:

f ist eine gerade Funktion:

f ist eine ungerade Funktion:


13.1.7 Konvergenz:

Ist f stetig im Intervall [-p,p] und 2p-periodisch, dann gilt:

Die Fourierkoeffizienten streben gegen null, wenn k gegen unendlich geht.

13.1.8 Fourierreihe:

Ist f stetig und stückweise glatt im Intervall [-p,p] sowie 2p-periodisch, dann konvergiert die Fourierreihe gleichmäßig und absolut, und es gilt:


Betrachtet man eine allgemeine 2L-periodische Funktion f, so gilt für die Fourierreihe:



13.1.9 Dirichlet-Term:

Dieser wird aus dem trigonometrischen Polynom gewonnen.


Der Dirichlet-Term hat folgende Eigenschaften:


Daraus folgt für das trigonometrische Polynom:


13.1.10 Fourierreihenentwicklungen einiger 2p-periodischer Funktionen:

FunktionFourierreihe

 

13.2 Eine Anwendung auf die Saitenschwingung

Gegeben sei eine Saite der Länge p, die an beiden Enden eingespannt sei und auf die keine äußeren Kräfte einwirke.

13.2.1 Zugehöriges Randwertproblem:



13.2.2 Separierte Differentialgleichungen:

Man erhält als Ansatz:



13.2.3 Ermittlung der Eigenfunktionen:

Unter Berücksichtigung der Anfangs- und Randwerte ergibt sich:



13.2.4 Lösung der Differentialgleichung:


13.2.5 Fourierreihen von f bzw. g:

Falls existiert und Differentiation und Summation vertauschbar sind, so folgt:


Dies sind die Fourierreihen von f bzw. g.

 


Kapitel 14: Kurven und Flächen