11. Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel
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11.1 Krummlinige Koordinaten, Jacobideterminante

11.1.1 Krummlinige Koordinaten:

Gegeben seien drei Eckpunkte eines zu den Koordinatenachsen parallelen Rechtecks im durch deren Ortvektoren:

Die Verzerrung des Rechtecks mit dem Flächeninhalt in ein Parallelogramm, dargestellt durch die neuen Eckpunkte

,

mit der Funktion f ergibt für den Grenzwert der Verhältnisse zwischen dem ursprünglichen Flächeninhalt FQ und dem neuen Flächeninhalt FP Folgendes:

Diese Flächenverzerrung im zweidimensionalen Raum läßt sich analog übertragen auf Gebilde im . Dort stellt sie die Volumenverzerrung im dreidimensionalen Raum dar.

11.1.1.1 Wird bei solchen Verzerrungen kein begrenztes Objekt betrachtet, sondern eine offene Menge U in eine offene Menge V verzerrt, so spricht man bei f von der Koordinatentransformation von U auf V.

11.1.1.2 Zur Umkehrung einer solchen Koordinatentransformation läßt sich unter der Voraussetzung, daß , Folgendes sagen:


11.1.2 Jacobideterminante:

In diesem Zusammenhang wird der Begriff der Funktionaldeterminante oder Jacobideterminante eingeführt.

 

 

11.2 Transformationsformeln

11.2.1 Polarkoordinaten:

Koordinatentransformation:

Jacobideterminante von f:


11.2.2 Zylinderkoordinaten:

Koordinatentransformation:


Jacobideterminante von f:


11.2.3 Kugelkoordinaten:

Koordinatentransformation:


Hierbei liegt der Winkel j zwischen der x-Achse und dem in die x-y-Ebene projizierten Ortsvektor des Punktes. Der Winkel q liegt zwischen der z-Achse und dem Ortsvektor des Punktes.

Jacobideterminante von f:



11.2.4 Laplace-Operator D:

Für eine zweifach differenzierbare Funktion von auf läßt sich der sog. Laplace-Operator D definieren:

11.2.5 Transformationsformel:

Bei Koordinatentransformationen zwischen offenen, nichtleeren Mengen U und V, mit meßbarem und stetigem gilt die Transformationsformel.


Beispiel: Gesucht wird das neue Volumen Vol(B) eines Parallelepipeds B, das durch eine affin-lineare Abbildung u = Ax + b eines Einheitswürfels W entstanden ist.

Aus , und der Transformationsformel

folgt dann:




Kapitel 12: Gewöhnliche Differentialgleichungen