10. Tensoren, Quadratische Formen
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10.0 Allgemeine Grundlagen

10.0.1 Linearitätseigenschaft einer Abbildung:

Gegeben seien Vⁿ als ein n-dimensionaler Raum sowie die Abbildung .

A heißt lineare Abbildung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

10.0.2 Eigenwerte und Eigenvektoren: Allgemeine Definition siehe Kapitel 3.3

Beispiel: Gesucht werden die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A:

Die Eigenvektoren werden dann nach bekanntem Prinzip berechnet:

Es sei bemerkt, daß die Eigenvektoren einer Matrix eine Orthogonalbasis darstellen, falls die Matrix symmetrisch ist. Es gilt dann:

2. Beispiel: Eigenvektoren als Orthogonalbasis zur folgenden Matrix A

Bei der Aufstellung einer solchen Basis ist allerdings darauf zu achten, daß l₁< l₂ < l₃ ist.

10.1 Tensoren, Koordinatendarstellungen

10.1.1 Geometrischer Tensor:

Als erste Etappe zur Definition allgemeiner Tensoren werden an dieser Stelle Tensoren als geometrische Objekte eingeführt. Gilt beispielsweise für die Verzerrung f der vier Punkte P, Q, R, S eines Parallelogramms die Vorschrift

so spricht man bei f von einem geometrischen Tensor 2. Stufe.

10.1.2 Tensor:

Ist eine allgemeine Abbildung A aus Vⁿ linear, so spricht man von einem Tensor 2. Stufe.

10.1.3 Vektorprodukt:

Vektor fest:

10.1.4 Projektionstensor:

Der Vektor sei fest. Dann ist die Projektionsabbildung ein Tensor:

10.1.5 Dyadisches Produkt zweier Vektoren:

Die Vektoren seien fest. Dann ist folgende Abbildung D ein Tensor:

10.1.6 Spiegelungstensor:

Es sei der Vektor mit ||u||=1. Dann stellt (siehe oben) eine Spiegelung an der Ebene dar. S_u heißt Spiegelungstensor.

Die Koordinatendarstellung dieser Spiegelung lautet:

Es folgt daraus:

1. S_u ist eine symmetrische Matrix.

2. S_u ist orthogonal.

3. S_u ist zu sich selbst invers:

10.1.7 Drehtensor (Drehung im Raum um eine feste Drehachse):

Es sei der Vektor , (Voraussetzung: ||a||=1).

Die Drehung Da(j) aller Vektoren um den Winkel j gegen den Uhrzeigersinn um eine Drehachse der Richtung a ist ein Tensor. Es gilt:

Die Determinante det(D) eines Drehtensors beträgt immer +1.

10.1.8 Eulersche Drehmatrizen:

Die drei Spezialfälle der allgemeinen Dretensoren ergeben sich durch Eisetzen der drei Basisvektoren e₁, e₂ und e₃ für a. Es enstehen dabei Drehtensoren um die drei Achsen des Koordinatensystems.

Drehung um die e₃-Achse (z-Achse):

Drehung um die e₂-Achse (y-Achse):

Drehung um die e₁-Achse (x-Achse):

10.1.9 Verkettung der Eulerschen Drehmatrizen:

Ist D eine Drehmatrix, dann gibt es drei Winkel a, b, g, so daß Folgendes gilt:

Allgemein ausgedrückt lautet diese Drehmatrix so:

10.1.10 Beispiele für Tensoren in Physik und Technik:

Dielektrischer Tensor,
Polarisationstensor,
Trägheitstensor,
Deformationstensor,
Spannungstensor,
...

10.1.11 Koordinatendarstellung der Translation von Vektoren:

Es sei der Vektor ein fester Vektor. Dann ist die Abbildung eine Translation (kein Tensor). Ist nun T die Koordinatendarstellung eines Tensors in der Basis (e₁, e₂, e₃) und T ' die Koordinatendarstellung desselben Tensors in der Basis (e₁', e₂', e₃'), so gilt T = T '. Dies liegt an der Invarianz der Basisvektoren bei Translation.

10.1.12 Orthogonale Transformationen:

Es sei P eine orthogonale Transformation des . Aus dem Basisvektor e_j wird damit der Basisvektor e_j':

Das entstehende Koordinatensystem ist wieder orthogonal. Es gilt des weiteren:

Wenn det(P) = +1 (d.h. Drehung), dann ist (e₁', e₂', e₃') wieder ein Rechtssystem.

10.1.12.1 Transformationsverhalten eines Vektors:

Der Vektor a bezüglich der ursprünglichen Basis (e₁, e₂, e₃) wird nach der Transformation P zu

Hierbei ist p_ij eine Komponente der Transformationmatrix P.

10.1.12.2 Transformationsverhalten von Tensoren:

Ist T ein Tensor mit den Matrixkomponenten t_ji und P eine orthogonale Transformation des (siehe oben), ergibt sich Folgendes:

Erzeugt der Basiswechsel nicht-orthogonale Basisvektoren, so werden die Transformationformeln "etwas" komplizierter.

10.2 Das Normalformenproblem von Bilinearformen

10.2.1 Hyperfläche 2. Grades oder Quadrik:

Man definiert folgende Funktion :

Die hier auftretende Matrix A muß symmetrisch sein.

Die Menge der Punkte P mit , welche die Gleichung erfüllt, heißt Hyperfläche 2. Grades oder eine Quadrik im .

Beispiel:

10.2.2 Mittelpunkt einer Quadrik:

Betrachtet man die Translation x = x' + p der Quadrik um p, so gilt:

Ist nun die Gleichung Ap = -b lösbar, so besitzt Q(x) ein Zentrum, für das gilt:

m heißt Mittelpunkt der Quadrik.

10.2.3 Normalform einer Quadrik:

Mit Hilfe geeigneter Koordinatentransformationen läßt sich jede Quadrik auf eine der beiden folgenden Normalformen bringen:

1. Fall:

mit r = Rang(A),
Eigenwerte von A, die ungleich Null sind.

2. Fall:

mit r = Rang(A) < n,
g > 0,
für i = 1, ..., r

10.2.4 Allgemeine Vorgehensweise bei der Klassifikation von Quadriken:

10.2.4.1 Umformungen zu Q(x):

Gegeben:

Umformungen:

10.2.4.2 Vorgehensweise:

1. Fall: Am = -b ist lösbar. Es liegt eine Zentrumsquadrik vor.

1.) Bestimmen von m und Q(m).
2.) Bestimmen der Eigenwerte und Eigenvektoren von A. (u.U. Bestimmung des Typs)
3.) Bestimmen der Drehmatrix P aus den Eigenvektoren von A.
4.) Setze die neuen Koordinaten:
Daraus folgt

5.) Normalform (im ):
Typ: siehe Tabelle
Lage: Koordinatentransformation:

Tabelle 1: Klassifikation von Zentrumsquadriken

2. Fall: Am = -b ist nicht lösbar. Es liegt keine Zentrumsquadrik vor.

Es folgt daraus, daß 0 ein Eigenwert von A ist, denn det(A) = det(A - 0E) = 0

1.) Bestimmen der Eigenwerte von A.
2.) Bestimmen der Eigenvektoren v₁, ..., v_r zu den l_i 0
3.) Bestimmen der Eigenvektoren v_i zu den l_r+1, ..., l_n-1 = 0 mit
4.) Bestimmen von v_n
5.) Quadratische Ergänzung
6.) Normalform (im ):
Typ: siehe Tabelle

Tabelle 2: Klassifikation von Quadriken mit leerem Zentrum

10.2.4.3 Darstellung:

Die folgende Tabelle enthält nur die ersten sechs Typen von Zentrumsquadriken aus Tabelle 1 und die Typen von Quadriken mit leerem Zentrum aus Tabelle 2.

Beispiel: Gesucht wird die Normalform der folgenden Quadrik.

Die Eigenwerte, die normierten Eigenvektoren und der Rang von A ergeben sich zu:

Normierte Matrix P:

Die Gleichung wird mit x = Pu zu

und nach Resubstitution ergibt sich die gesuchte Normalform der Quadrik zu , was eine Parabel ist.

Kapitel 11: Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel