9. Integralrechnung
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9.1 Definition der Stammfunktion

9.1.1 Für die Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x) gilt Folgendes:

Wenn eine solche Funktion F(x) existiert, so heißt f(x) integrierbar und

das (bestimmte) Riemann - Integral von f in den Grenzen x1 = a (untere Grenze) und x2 = b (obere Grenze).

9.1.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

Eine im Intervall [a,b] stetige Funktion f(x) mit der Stammfunktion F(x) schließt mit der x-Achse die Fläche

ein.


9.2 Eigenschaften und Anwendungen von Integralen

9.2.1 Bogenlänge einer Raumkurve K im Intervall [a,b]:

Für sie gilt allgemein:

Der letzte Term gilt auch für Kurven im .

9.2.2 Wichtige Eigenschaften von Riemann-Integralen:




9.3 Integrationsmethoden

Prinzip: Im Allgemeinen eine Umformung und Rückfühung von Integralen auf Grundintegrale.

9.3.1 Addition der Null:

Beispiel:



9.3.2 Die Ableitung der Funktion tritt im Integranden auf:

1. Beispiel:

2. Beispiel:




9.3.3 Die Substitutionsmethode:

Allgemein gilt:



1. Beispiel:


2. Beispiel:


9.3.4 Partielle Integration:

Allgemein gilt:


1. Beispiel:


2. Beispiel:


Für gilt:


Hieraus folgt dann: I = 0.


9.3.5 Integration rationaler Funktionen (Partialbruchzerlegung):

9.3.5.1 Integrale der Form mit Grad (P) > Grad(Q) werden mit Hilfe von Polynomdivision vereinfacht und - wenn kein Rest bleibt - sofort integriert. Andernfalls benötigt man die Methode der Partialbruchzerlegung.

9.3.5.2 Bei der Betrachtung von Integralen der Form mit Grad (R) < Grad(Q) kommt der Fundamentalsatz der Algebra zur Anwendung. Dabei wird Q(x) in Faktoren reeller Nullstellen und ggf. Polynome der nicht-reellen Nullstellen zerlegt.


Nicht-reelle Nullstellen treten als auf.

Im weiteren Lösungsverlauf werden auch die Vielfachheiten kn der reellen Nullstellen xn und die Vielfachheiten lt der nicht-reellen Nullstellen zt berücksichtigt.

Die Partialbruchzerlegung von ist dann eindeutig bestimmt durch:


Es gibt dann die Möglichkeit, für die Lösung einen Koeffizientenvergleich mit der ursprünglichen Funktion durchzuführen, indem man beide Seiten der obenstehenden Gleichung mit Q(x) multipliziert und das dann aus der Gleichheit der Koeffizienten erhaltene lineare Gleichungssystem nach den unbekannten Koeffizienten auflöst und integriert.

Eine andere Möglichkeit ist das "Zuhalte-Verfahren" (Zitat eines Assistenten) zur Bestimmung eines Koeffizienten Apq: In Gedanken wird die Gleichung auf beiden Seiten mit Nenner des Bruchs bei Apq erweitert und die Nullstelle xp des ursprünglichen Integranden eingesetzt. Für die Bestimmung der anderen Koeffizienten wird dieses Verfahren wiederholt, unter Umständen muß man die dann vorliegende Gleichung mit Polynomdivision vereinfachen, bevor man fortfährt.

Beispiel: Gesucht ist das unbestimmte Integral der folgenden Funktion:


Zuhalte-Verfahren zur Bestimmung von F: Mit multiplizieren und dann x = -1 einsetzen:




Für das Integral ergibt sich dann Folgendes:



9.3.6 Integration rationaler Funktionen von sin und cos:

Zunächst wird substituiert:

Danach wird integriert, ggf. muß noch eine Partialbruchzerlegung durchgeführt werden.

9.3.7 Integration rationaler Funktionen von sinh und cosh:

Substitution:


9.3.8 Integration von Potenzreihen:

Es gilt:

9.3.9 Rotationskörper:

Für das Volumen V eines um die x-Achse rotationssymmetrischen Körpers mit f(x) als Funktion der Berandung gilt im Intervall [a,b]:





9.4 Integrale bei Funktionen mehrerer Veränderlicher

9.4.1 Zweidimensionale Integrale:

Das Volumen V zwischen der Funktion f(x,y) und der x-y-Ebene im Bereich beträgt:


Beispiel: Gesucht ist das Volumen des Tetraeders, dessen Ecken in (0,0,0), (a,0,0), (0,b,0) und (0,0,c) sind. Die Gleichung der entsprechenden Ebene liefert den gesuchten Inhalt:



9.4.2 Dreidimensionale Integrale:

Analog zu zweidimensionalen Integralen gilt:


Beispiel: Gesucht ist das Volumen V einer (zentrosymmetrischen) Kugel mit Radius R.


Es gilt gemäß der obenstehenden Gleichung:

Das Kugelvolumen beträgt dann

.

9.4.3 Masse m und Schwerpunkt eines Körpers:

Für sie gilt:



 

9.5 Uneigentliche Integrale

9.5.1 Konvergentes uneigentliches Integral:

1. Bedingung: Für alle reellen a,b aus dem Definitionsbereich (a,b) [z.B. ] der

gegebenen Funktion f ist f integrierbar.

2. Bedingung: Es gibt ein c aus (a,b), so daß folgende Integrale existieren:


Uneigentliches Integral:

9.5.2 Vergleichskriterium für uneigentliche Integrale:

9.5.2.1 Konvergiert und ist , so konvergiert auch .

9.5.2.2 Divergiert , während ist, so divergiert auch .

9.5.3 Integralkriterium:

Ist die Funktion monoton fallend und gilt ständig , so kann man sagen:

Es konvergiert , wenn konvergiert.




9.6 Parameterabhängige Integrale

9.6.1 Stetigkeit von Parameterintegralen:

Das folgende Parameterintegral ist im Definitionsbereich von f(x,t) stetig:


9.6.2 Leibniz-Regel:

Ist im Parameterintegral auch ft(x,t) stetig, dann gilt für die Ableitung F'(t):






9.7 Integration durch Reihenentwicklung, spezielle nichtelementare Funktionen

9.7.1 Die Gammafunktion oder das Eulersches Integral zweiter Gattung:

Als Gammafunktion wird folgendes uneigentliche Integral definiert:


Die Gammafunktion hat folgende Eigenschaften:


Letztere Eigenschaft erlaubt die Erweiterung des Begriffs der Fakultät auf beliebige reelle Zahlen:




9.7.2 Eulersche Konstante C:

Sie wird definiert als:


9.7.3 Integralsinus:

Für |x| < gilt:


9.7.4 Integralcosinus:

Für 0 < x < gilt:

9.7.5 Integralexponentialfunktion:

Für - < x < 0 und 0 < x < gilt:

Ist 0 < x < , so spricht man vom Cauchyschen Hauptwert.

9.7.6 Integrallogarithmus:

Für 0 < x < 1 und 1 < x < gilt:

Ist 1 < x < , so spricht man vom Cauchyschen Hauptwert.

9.7.7 Gausssches Fehlerintegral:

Für |x| < gilt:

Eigenschaften:



 

 

9.8 Literaturhinweise zu Integralen

9.8.1 Bronstein / Semendjajew / Musiol / Mühlig:
Taschenbuch der Mathematik (1. Auflage, 1993)
: Seiten 265ff

Logarithmische Integration Seite 267
Substitutionsmethode Seite 268 / Seite 273 / Seite 275
Partialbruchzerlegung Seite 269
Integration irrationaler Funktionen Substitutionstabelle Seite 273f

9.8.2 Unbestimmte Integrale:

Integral enthält den Term bzw. die Terme

Bronstein / Semendjajew / Musiol / Mühlig:
Taschenbuch der Mathematik

ax + b

Seite 741

Seite 743

Seite 745

Seite 747

Seite 748

allgemeine Beispiele zu Partialbruchzerlegung

Seite 748

Seite 749

Seite 750

Seite 752

Seite 754

Seite 756

Seite 758

Sinusfunktion

Seite 761

Cosinusfunktion

Seite 763

Sinus- und Cosinusfunktion

Seite 766

Tangensfunktion / Cotangensfunktion

Seite 770

Hyperbelfunktionen

Seite 771

Exponentialfunktion

Seite 772

Logarithmische Funktionen

Seite 774

Inverse trigonometrische Funktionen

Seite 775

Inverse Hyperbelfunktionen

Seite 777


 


Kapitel 10: Tensoren, Quadratische Formen